Szczegółowa postać zależności, np. (l), wskaźnika nieza­wodności  R  od różnych czynników c_k, c_t i c_e,  otrzymywana w sposób analityczny, zależy głównie od rodzaju przyjętego wskaźnika niezawodności; rodzaju zjawisk fizycznych pogarsza­jących stan techniczny obiektu, uwzględnionych w zbudowanym modelu; stopnia złożoności obiektu (przyjętej liczby PK) itd.

Najprostszy przypadek zachodzi wówczas, gdy badanym obiek­tem jest PK z jedną cechą zdatności Z (t).  Wskaźnikiem służą­cym do oceny niezawodności PK jest zwykle funkcja niezawodno­ści R(t),  a inne na ogół jednoznacznie z niej wynikają. Jeśli granica obszaru zdatności jest jednostronna i określona przez  Z_gr  ,  to wielkość R(t) może być wyznaczona na przy­kład na podstawie relacji

R(t) = P{ Z(t) £ Z_gr }                                                                                    (40)

lub relacji

R(t) = P{T > t }                                                                                             (41)

Czas T  bezawaryjnej pracy PK jest równy czasowi eksploa­tacji, jaki upływa do chwili t_gr, w  której cecha zdatności osiąga swoją wartość graniczną. Ponieważ wielkość tg,-  wynika z relacji

Z(t_gr) = Z_gr                                                                                                      (42)

do wyznaczenia funkcji niezawodności  R(t)  potrzebna jest znajomość stochastycznego opisu cechy zdatności Z(t).  Opis ten wynika z niezawodnościowego modelu PK, a zwłaszcza jego części opisujących zmiany stanu technicznego i początkowy stan techniczny tego PK. Dla każdego PK i zjawisk fizycznych prowa­dzących do jego niesprawności opis ten może być więc różny.

Jeśli analiza cechy zdatności wskazuje, że jej dystrybuanta dla chwili  t  wynosi  F_z(Z; t),  to zgodnie ze związkiem (40) wielkość  R(t)  można określić na przykład za pomocą wy­rażenia

R(t) = F_z(Z_gr; t).                                                                                              (43)

W wielu przypadkach przy wyznaczaniu wskaźnika R(t)  wystarczająca jest znajomość probabilistycznego opisu wielkości określających cechę zdatności.

Spośród analitycznych metod wyznaczania szczegółowej po­staci relacji (1) dla PK o jednej cesze zdatności, należy wy­różnić małą grupę, rzadko używanych, metod opartych na teorii łańcuchów Markowa. Próby zastosowania tych metod przedstawione są w pracach [38,121]. W tych przypadkach niezawodnościowy model obiektu przygotowuje się w nieco odmiennej po­staci matematycznej niż przedstawiona w rodz. 4, chociaż na niej opartej.

Gdy stan niezawodnościowy PK zależy od n  cech zdatności, z założenia niezależnych stochastycznie (p. podrozdz. 5.1), to z formuły (6) wynika, że na przykład funkcja niezawodności tego PK jest równa

(44)

 

 

W tym przypadku analityczne wyznaczenie funkcji R (t)  po­lega na wymnożeniu znalezionych uprzednio prawdopodobieństw tego, że w czasie  t  każda z n  cech zdatności PK nie przekroczy granicy obszaru zdatności .

Przy takim samym upraszczającym założeniu niezależności stochastycznej en bloc między n  cechami zdatności Z_n(t) obiektu złożonego z  m PK, a więc – również niezależności stochastycznej en bloc między m  czasami T_i  bezawaryjnej pracy PK,  wskaźniki niezawodności takiego obiektu złożonego mogą być wyznaczone analitycznie na podstawie znajomości od­powiednich wskaźników niezawodności poszczególnych PK (lub na­wet cech zdatności) oraz struktury niezawodnościowej obiektu. Jeśli na przykład poszukiwanym wskaźnikiem jest funkcja nie­zawodności a obiekt ma strukturę szeregową w sensie niezawod­ności (w odniesieniu do jego PK lub cech zdatności), to ten wskaźnik może być wyznaczony na podstawie formuły (44) lub formuły

(45)

 

Przedtem należy jednak znaleźć odpowiednie prawdopodobień­stwa  P_n  (44) lub funkcje R_i (45), do czego nale­ży wykorzystać zbudowane modele niezawodnościowe  PK.

Gdy niezawodnościowy model obiektu złożonego z większej niż 1 liczby PK lub niezawodnościowy model PK opisywanego przez większą niż 1 liczbę cech zdatności uwzględnia wspomnia­ne zależności stochastyczne, wówczas analityczne metody wyzna­czania wskaźników niezawodności (na podstawie znajomości tego modelu) zwykle zawodzą. W pewnych szczególnych przypadkach zastosowanie metody analitycznej jest jednak możliwe. Możliwość tę wskazuje podany  związek między funkcją niezawodności obiektu zło­żonego o strukturze szeregowej a funkcjami niezawodności po­szczególnych PK, wyprowadzone w ramach teorii korelacji przy założeniach: zmienne losowe T_i  mają rozkłady normalne lub quasi-normalne (korelacja liniowa), a odpowiednie współczynni­ki korelacji   r_mh są nieujemne. Wykorzystując ten związek, można przedstawić wyrażenia na funkcję niezawodności obiektu złożonego przy uwzględnieniu zależności stochastycznych, po­dobne do formuł (44) i (45). Na przykład

(46)

 

 

gdzie

(47)

 

 

m, h = 1, 2,…, m

R_inf(t) – jest funkcją niezawodności PK najbardziej zawodnego.

Formuła (46) może być również wykorzystywana do wyznacza­nia funkcji niezawodności PK o  n  cechach zdatności, gdy  n > 1.  Wówczas

(48)

 

 

gdzie znaczenie symboli c  i  P_inf(t)  podają relacje podobne do relacji (47).

Ponieważ wielkości występujące w wyrażeniu (46) i w wyra­żeniu (48) zależą od różnych czynników konstrukcyjnych, tech­nologicznych i eksploatacyjnych (p. np. zależności (43) i (44)), więc wyrażenia te stanowią poszukiwane szczegółowe po­stacie relacji (1) dla obiektu złożonego i dla pojedynczego PK.

Przy tej metodzie analitycznego wyznaczania niezawodności obiektu złożonego, model struktury niezawodnościowej powinien zawierać związki (33), na przykład w postaci (34), opisujące odpowiednie zależności stochastyczne. Wartości występujących tam współczynników korelacji r_mh  można wyznaczyć analitycz­nie lub za pomocą symulacji realizacji zmiennych losowych T_m i T_h.

W wielu przypadkach założenia tej metody analitycznej (mówiące o normalności rozkładów cech zdatności  Z_n lub cza­sów  T_i.  oraz o nieujemnych wartościach współczynników korelacji  r_mh )  są jednak zbyt silne (choć w mniejszym stopniu w przypadku pojedynczego PK o wielu cechach zdatności), aby mog­ła być ona zastosowania do wyznaczania wskaźników niezawodno­ści. Czasami wadę tę można częściowo wyeliminować przez odpo­wiedni dobór cech zdatności, zwłaszcza taki, aby współczynni­ki korelacji miały wartości nieujemne. Jednak komplikuje to wyznaczanie tych współczynników. Drugą wadą tej metody jest konieczność wyznaczania współczynników korelacji, co jest czę­sto kłopotliwe i żmudne, zwłaszcza przy sposobie analitycznym.

Podana w tej metodzie zależność (46) (lub zależność48) służy do wyznaczania funkcji niezawodności  R(t).  Również w zależnościach (44) i (45). służących do określenia poziomu niezawodności obiektu, używa się tylko tego wskaźnika

nieza­wodności. Znajomość tej funkcji może być jednak wykorzystana do wyznaczenia również i innych wskaźników. Tak na przykład intensywność niesprawności l(t)  jest równa

(49)

 

 

Sposoby wyznaczania innych wskaźników niezawodności na podstawie znajomości R(t),  m.in. wartości oczekiwanej  ET czasu bezawaryjnej pracy obiektu, podaje odpowiednia literatu­ra z zakresu teorii niezawodności, np. prace [5, 24]. Wszystkie te wskaźniki dotyczą obiektów nieodnawianyoh (np. wielu elementów obiektów mechanicznych, a czasom nawet zespołów) oraz obiektów odnawianych w okresach między kolejny­mi niesprawnościami. Wskaźniki te i przedstawione metody ich wyznaczania odnoszą się do procesu użytkowania obiektu.  Za wskaźniki niezawodności obiektów odnawianych uznawane są rów­nież takie wielkości, jak współczynnik gotowości, wartość oczekiwana czasów odnów poawaryjnych i inne. Charakteryzują one jednak nie tyle obiekt, ile system obiekt-obsługa. Do wy­znaczenia takich wskaźników konieczne jest zbudowanie nie tyl­ko modelu użytkowania, lecz także odpowiedniego modelu obsłu­giwania obiektu (w ramach modelu eksploatacji obiektu). O trudnościach związanych z tym pisano już w podrozdz. 4.3, punkt b.

Powyżej przedstawiono kilka wybranych analitycznych metod badań niezawodności obiektu. Mogą być one stosowane do badań niezawodności PK i obiektu złożonego z wielu PK. Jeśli jednak nie można zrobić założenia o braku stochastycznych zależności między zmiennymi T_i  lub założeń, przy których słuszna jest metoda wykorzystująca relację (46), to najwygodniejszą, a zwykle i jedyną, metodą badań niezawodności obiektu złożone­go z wielu PK (lub opisanego wieloma cechami zdatności) jest metoda symulacji.