Matematyczny model niezawodnościowy jest to zbiór relacji matematycznych i występujących w nich wielkości, opisujący te stany oraz procesy decydujące o niesprawnościach obiektu rze­czywistego, które są uwzględnione przez model nominalny. Spo­sób tego matematycznego opisu powinien być taki, aby nadawał się do określenia poziomu niezawodności badanego obiektu, a ściślej – do wyznaczenia wybranych wskaźników niezawodności.

Do budowy modelu matematycznego przystępuje się po zgroma­dzeniu dalszych informacji o obiekcie, potrzebnych w tym eta­pie modelowania (p. rozdz. 4.1). Wiele innych informacji gro­madzi się również w trakcie tworzenia modelu matematycznego, gdyż wówczas precyzują się dalsze potrzeby w tym zakresie.

Tworzenie modelu matematycznego rozpoczyna się od podjęcia kilku wstępnych, ale istotnych decyzji, od których w dużym stopniu zależy postać matematyczna modelu niezawodnościowego [19]. Dotyczą one wyboru cech zdatności obiektu, jego miar niezawodności oraz metody przyszłych badań, przeprowadza­nych na tworzonym modelu.

Należy po pierwsze dokonać wyboru cech zdatności badanego obiektu. Jak wynika z definicji tych wielkości, podanej w rozdziale 3, na wybór ich mają wpływ przede wszyst­kim rodzaje zjawisk fizycznych uwzględnionych przez model no­minalny i możliwości łatwego zbudowania prostych relacji mate­matycznych, określających zależności tych cech od stanu tech­nicznego i od poziomu oddziaływań zewnętrznych (p. zależ­ność 4).

Po drugie należy dokonać wyboru najbardziej od­powiednich wskaźników służących do oceny niezawodności obiek­tu (np. funkcja niezawodności  R,  intensywność niesprawności l (wg PN – intensywność uszkodzeń [15], p. rozdz. 2), współ­czynnik gotowości K_g  itd.). Od rodzaju wybranego wskaźnika niezawodności zależy w pewnym stopniu matematyczna postać two­rzonego modelu niezawodnościowego, a także – jakość i ilość gromadzonych informacji o obiekcie i o jego eksploatacji. Spo­tykane w literaturze metody doboru wskaźników do oceny nieza­wodności konkretnych obiektów oparte są na ogół na ogólnej analizie charakterystyk konstrukcyjnych, sposobu eksploatacji, skutków niesprawności itd. oraz na intuicji. Te sposoby nie zaważę są zadowalające i mogą być przyczyną używania niepo­trzebnych lub niewłaściwych wskaźników, niewiele mówiących o wpływie niezawodności obiektu na efektywność jego eksploatowa­nia [25]. Znacznie lepszym sposobem jest dobieranie wskaźników niezawodności za pomocą odpowiednich szyfrów opra­cowanych na podstawie analizy wymienionych czynników.

Najbardziej właściwy dobór tych miar niezawodności powi­nien wynikać z potrzeb, a więc powinien być oparty na analizie matematycznego opisu kryterium globalnego służącego do oceny konstruowanego obiektu. Poziom niezawodności może być w naj­lepszym razie traktowany tylko jako kryterium cząstkowe oceny obiektu. Właściwie takim kryterium cząstkowym związanym z nie­zawodnością obiektu powinny być straty wywoływane niesprawnościami obiektu. Innymi kryteriami cząstkowymi, prócz tych strat, stosowanymi do oceny obiektu są na przykład takie cechy obiektu, jak: bezpieczeństwo, efektywność ekonomiczna, ciężar  itd.

Kryteriami globalnymi ujmującymi takie różne cechy obiektu może być efektywność globalna lub tzw. dobroć obiektu [25]. Podstawą wyboru potrzebnych wskaźników niezawod­ności jest w tym przypadku matematyczny opis zależności takiego kryterium globalnego od wielkości wyrażających poziom nie­zawodności. Te właśnie wielkości powinny spełniać rolę wskaź­ników niezawodności.

Natomiast dobór wskaźników niezawodności dla PK obiektu złożonego wynika bezpośrednio ze sposobu wyrażenia niezawodno­ści tego obiektu za pomocą niezawodności jego PK (p. dalsza część tekstu).

Po trzecie – określa się sposób wykorzystania niezawodnościowego modelu obiektu, tzn. określa się, czy bę­dzie on służył do analitycznych czy numerycznych (symulacyj­nych) badań niezawodności (p. rozdz. 5). W wielu przypadkach zależy od tego postać matematyczna modelu.

Po podjęciu tych przedstawionych powyżej decyzji przystę­puje się do szczegółowego opisu matematycznego tych informa­cji, które zawarte są w modelu nominalnym. W efekcie tych działań otrzymuje się zbiór relacji matematycznych, które w sposób szczegółowy wyrażają to co relacje matematyczne (2) – (5) ogólnej postaci modelu matematycznego przedstawionego w roz­dziale 3. W utworzonej w ten sposób szczegółowej postaci mode­lu matematycznego wyróżnić można kilka części odwzorowujących: a) początkowy stan techniczny obiektu, b) eksploatację systemu, w którego skład wchodzi badany obiekt; c) oddziaływa­nia zewnętrzne na obiekt; d) oddziaływania wewnętrzne (między elementami);  e) uogólnione wytężenia w poszczególnych PK; f) degradację stanu technicznego obiektu;  g) granicę obszaru. zdatności obiektu.

Część a) przedstawia początkowy stan techniczny e_O . Część b) opisuje w sposób szczegółowy czynniki Za , Ot  i U (zadanie, stan otoczenia i sposób eksploatacji) przedstawione w rozdziale 3 przy prezentowaniu ogólnej postaci modelu. Część c) odpowiada relacji (2) ogólnie przedstawionej w roz­dziale 3. Części d)- f)  – to szczegółowe postacie relacji (3) i (4) z tego rozdziału. Część g) odpowiada relacji (5) z tego samego rozdziału.

Przedstawmy teraz krótko poszczególne części takiej szcze­gółowej postaci modelu matematycznego i opiszmy sposoby ich tworzenia.

a) Model początkowego stan technicznego obiektu jest to matematyczny opis stanu technicznego e_O obiektu w chwili t = 0, ożyli początkowych własności geometrycznych, materia­łowych i innych konstrukcyjnych (np. naciągów wstępnych), istotnych z punktu widzenia niezawodności (p. rozdz. 3). W przypadku konkretnego obiektu istotne są te własności, któ­re mają wpływ na wielkości wybranych wcześniej cech zdatności l ich wartości granicznych. Jeśli największa liczba wielkości opisujących początkowy stan techniczny któregokolwiek PK wy­nosi  r,  a liczba PK wynosi m,  to informacje o początkowych własnościach pojedynczego egzemplarza obiektu można zgrupować w postaci następującej macierzy

                                                           (9)

gdzie  e_Oi1 , e_Oi2 ,…, e_Oir ,…  są wielkościami określającymi początkowe własności i-tego PK. Zbiór wielkości opisujących początkowy stan techniczny obiektu można przedstawić również i w innej formie.

Dla populacji obiektów wielkości te mają mniejsze lub większe rozproszenia losowe. Są one nieuniknione jako skutek procesu wytwarzania. Wpływ tych rozproszeń na wartości cech zdatności w wielu przypadkach jest istotny. Wówczas wyrazy ma­cierzy (9) są w ogólności realizacjami zmiennych losowych e_Oir . Jeśli wartość dystrybuanty  F_Oir (e_Oir) zmiennej loso­wej e_Oir wynosi p_Oir,  to odpowiedni wyraz macierzy (9) mo­że być traktowany jako funkcja odwrotna do tej dystrybuanty, czyli

e_Oir= F_Oir^-1 (p_Oir)                                                                                           (10)

Do określenia takich wielkości jest więc potrzebna znajo­mość matematycznej postaci ich rozkładów oraz wartości odpo­wiednich parametrów.

Początkowe własności materiałowe PK obiektu (wytrzymałość doraźna, wytrzymałość na zmęczenie, granica plastyczności itd.) zależą od wielu czynników (skład chemiczny, warunki wy­topu, obróbka cieplna wlewków, technologia elementu, obróbka cieplna itd.), a wpływ na te własności każdego z nich nie jest dominujący. Dlatego rozkłady tych zmiennych losowych można zwykle aproksymować rozkładem normalnym (lub logarytmo-normalnym).

W wielu przypadkach również i początkowe własności geome­tryczne (promienie zaokrągleń w miejscach spiętrzenia naprę­żeń, luzy itd.) można zwykle aproksymować rozkładem normalnym.

Jeżeli w skład badanego obiektu wchodzą łożyska toczne, to model początkowego stanu technicznego powinien określać po­czątkowe nośności ruchowe (lub trwałości) tych łożysk, nośność i trwałość łożyska można traktować jako zmienne losowe. Wyniki badań wskazują, że trwałość łożyska tocznego można aproksymo­wać rozkładem Weibulla. W wymienionych pracach podane są matematyczne postacie rozkładów i wartości parame­trów odpowiednich zmiennych losowych, określone na podstawie badań eksperymentalnych.

Jednak w wielu przypadkach brakuje danych potrzebnych do probabilistycznego lub statystycznego opisu początkowych włas­ności obiektu. Wówczas można operować modelami hipotetycznymi, mniej dokładnymi, zbudowanymi na podstawie innych informacji, m.in. o matematycznych postaciach rozkładów podobnych wielko­ści, o okresach wartości niektórych wielkości, o wartościach tolerancji  itd.

Te własności obiektu, których rozproszenia losowe mają nieistotny wpływ na cechy zdatności i ich wartości graniczne, przyjmuje się w celu uproszczenia modelu za wielkości zdeter­minowane.

b) Model procesu eksploatacji jest to matematyczny opis cech charakteryzujących proces eksploatacji i uwzględnionych przez model nominalny (p. rozdz.2). W ogólnym przypadku jest to opis stochastyczny. Dane potrzebne do tego opisu mogą być opracowane na podstawie: badań eksploatacyjnych obiektów podobnych, na podstawie danych literaturowych, instrukcji użytkowania i obsługiwania obiektu badanego lub obiektów po­dobnych, na podstawie opinii ekspertów [12].

W ogólnym przypadku model procesu eksploatacji systemu, w którego skład wchodzi badany obiekt, to matematyczny opis poszczególnych elementów zadania Za ,  stanu otoczenia Ot  i sposobu eksploatacji U (p. rozdz. 4.2).

Jeśli więc elementy zadania Za oznaczyć symbolami E_Za1 , E_Za2 ,…, E_Zaz  gdzie  z  jest liczbą tych elementów, to w ogólnym przypadku opisem elementów zadania może być zbiór funkcji

F_Za1(E_Za1), F_Za2(E_Za2),…,F_Zaz(E_Zaz)                                                                 (11)

F_Zai,  jest tu symbolem odpowiedniej dystrybuanty lub czę­stości występowania.

Matematycznym opisem elementów E_Ot1 , E_Ot2 ,…, E_Oto stan otoczenia Ot  może być zbiór dystrybuant lub częstości występowania tych elementów, czyli

F_Ot1(E_Ot1), F_Ot2(E_Ot2),…, F_Oto(E_Oto)                                                         (12)

Matematyczny opis elementów sposobu eksploatacji U zacz­nijmy od opisu przebiegu procesu użytkowania, czyli kolejno­ści, liczb i czasów trwania różnych stanów użytkowania.  Stan użytkowania maszyny jest to zbiór ruchów, jednocześnie przez nią wykonywanych, w sposób istotny różniący się ze względu na kinematykę, a zwłaszcza ze względu na zewnętrzne oddziaływa­nia, od innych możliwych zbiorów ruchów (p. rozdz. 4.2).

[ciąg dalszy tej pracy nastąpi]