Zbiór stanów użytkowania, które mogą wystąpić przy reali­zacji dowolnego zadania  Za  w dowolnych warunkach Ot, oznaczmy przez  s (s_1,  s₂, …,s_w),  gdzie  w  jest liczbą moż­liwych stanów. Ze względu na oddziaływania zewnętrzne (głównie obciążenia dynamiczne) ważne są nie tylko liczby poszczegól­nych stanów, jakie mogą się pojawić przy wykonywaniu zadania, ale i rodzaje poprzedzających je stanów. Takie informacje za­wiera macierz prawdopodobieństw zmian stanów użytkowania. Praw­dopodobieństwo przejścia ze stanu j do stanu k oznaczmy przez q_jk. W wielu przypadkach można założyć, że q_jk nie zale­żą od czasu i są jednakowe dla każdego z zadań. Zbiorowi sta­nów  s  można przyporządkować następującą macierz przejść

q =                                                                              (13)

Wyrazy tej macierzy spełniają zależność

= 1            dla każdego  j.                                                                     (14)

Ważna ze względu na oddziaływania zewnętrzne liczba przejść n_jk ze stanu  j  do stanu  k,  przypadająca na jedno zadanie jest równa w przybliżeniu

n_jk = q_jkn_j .                                                                                                        (15)

gdzie  n_j  jest liczbą zdarzeń, polegających na pojawieniu się stanu  j  podczas wykonywania zadania. W pewnych przypadkach można przyjąć, że  n_j nie zależą od czasu  i  od rodzaju za­dania. Z równości (15) wynika, że do wyznaczenia liczb n_jk potrzebna jest znajomość wyrazów macierzy  q  oraz wyrazów n_j macierzy wierszowej  n.  Można je określić w badaniach eks­ploatacyjnych obiektów podobnych.

Ważną informacją o sposobie użytkowania niektórych obiek­tów może być znajomość czasów  t_sj  (j = 1, 2,…, w)  trwania poszczególnych stanów użytkowania. W ogólnym przypadku można je opisać na przykład za pomocą zbioru dystrybuant

F_s1(t_s1), F_s2(t_s2),…, F_sw(t_sw) .                                                                           (16)

Po zakończeniu zadania obiekt może przejść do stanu ocze­kiwania na nowe zadanie. Stan ten występuje na ogół tylko wów­czas, gdy zgłoszenie zadania wystąpiło dopiero po zakończeniu zadania poprzedniego. Można założyć, że proces zgłoszeń zadań ma cechy braku następstw, pojedynczości i stacjonarności. Wówczas może być on traktowany jako proces Poissona [5], a czas między zgłoszeniami opisuje zmienna losowa o rozkła­dzie wykładniczym. Gęstość prawdopodobieństwa tej zmiennej wy­raża się wzorem

f_x(t) =                                                         (17)

gdzie  l_z   jest intensywnością zgłoszeń.

Inną grupą elementów sposobu użytkowania są elementy zwią­zane z jakością użytkowania. Duża część z nich to błędy użyt­kowania. Jeśli przypisać im wielkości B₁ ,B₂,…  itd.  (na przykład przy skośnym ciągnięciu ładunku przez żuraw, istotną wielkością opisującą ten błąd, może być kątowe odchylenie liny od pionu), to w ogólnym przypadku opisem tych błędów może być zbiór ich dystrybuant lub gęstości prawdopodobieństwa

F_B1(B₁), F_B2(B₂),…, F_Bb(B_b) .                                                                        (18)

gdzie  b  jest liczbą błędów uwzględnionych w modelu.

Wpływ jakości użytkowania na te błędy może być uwzględnio­ny w wartościach parametrów zmiennych B₁ ,B₂,…, B_b.

Od jakości użytkowania zależą też inne elementy sposobu użytkowania, np. liczba sterowanych ruchów nieobligatoryjnych przy wykonywaniu zadania przez maszynę. Matematyczny opis tej zależności może mieć na przykład następującą postać

n(I_O) = k(I_O)  n(1) .                                                                                        (19)

gdzie  n(I_O)   jest zdefiniowaną już poprzednio macierzą n, określoną dla klasy operatora o numerze

I_O  , n( l )  jest taką samą macierzą określoną dla najwyższej jakości użytkowania, a  k(I_O)  jest odpowiednio dobranym współczynnikiem. Czym wyż­sza jakość użytkowania, tym wartość współczynnika  k(I_O)  jest mniejsza.

Wszystkie przedstawione powyżej elementy sposobu eksploa­tacji U dotyczyły użytkowania obiektu. Przedstawmy teraz dru­gą grupę elementów sposobu eksploatacji, charakteryzujących proces obsługiwania. Wartości wielu z nich narzucone są zwykle przez instrukcje obsługiwania. Chodzi tu głównie o okresy mię­dzy różnego rodzaju przeglądami i odnowami profilaktycznymi.

Użytkowanie obiektu może też być przerywane w sposób nie­zaplanowany przez pojawiające się niesprawności tego obiektu i Innych zespołów maszyny, której częścią jest badany obiekt. Tworzony model niezawodnościowy obiektu pozwala na wyznacze­nie chwil występowania ewentualnych jego niesprawności, nato­miast innych zespołów maszyny nie. Bardzo trudne jest też uzy­skanie wiarygodnych informacji o przyszłym odnawianiu poawaryjnym, zwłaszcza innych zespołów maszyny, np. informacji o czasach oczekiwania na naprawę. W takich przypadkach propo­nuje się pominąć czasy trwania odnów poawaryjnych. Oznacza to zubożenie niezawodnościowego modelu obiektu l rezygnację z ba­dania m.in. wpływu organizacji procesu obsługiwania na poziom niezawodności. Jednak przy zasadniczych celach, stawianych przed badaniami niezawodnościowymi w ramach proponowanego sy­stemu racjonalnego oddziaływania na poziom niezawodności (rozdz. 2), wprowadzenie takiego uproszczenia na ogół nie zmniejsza znacząco wartości modelu.

Łatwiej jest natomiast w tworzonym modelu eksploatacji obiektu uwzględnić efekty odnawiania poawaryjnego, podobnie jak efekty planowych przeglądów i odnów profilaktycznych. Efekty te wynikają z jakości tych zabiegów obsługiwania. Przy opisie matematycznym jakości obsługiwania można na przykład dokonać podziału jakości obsługiwania na kilka klas.  Każdej z klas przypisać można odpowiednie wartości wielkości określa­jących jakość zabiegów obsługiwania. Czym wyższa na przykład jakość przeprowadzania przeglądów, tym większe wartości mogą mieć prawdopodobieństwa

P_wyk1(I_prz), P_wyk2(I_prz),…, P_wykm(I_prz)                                                              (20)

wykrycia nieodpowiedniego stanu technicznego każdego z PK podlegających przeglądom. Symbolem  I_prz P_wyk1(I_prz), oznaczona została klasa jakości przeglądów, a symbolem m – liczba PK. Dla PK, które nie podlegają przeglądom, prawdopodobieństwa (31) nie są określane lub na podstawie umowy są przyjmowane jako równe zeru.

Jakość odnowy (profilaktycznej i poawaryjnej) jest bardzo dobra, gdy w wyniku tej odnowy przywraca się początkowy stan techniczny PK, a zła, gdy nie poprawia ona aktualnego nieod­powiedniego stanu technicznego. Jednak w ogólnym przypadku stan techniczny PK po odnowie może przyjmować dowolny poziom, będący rezultatem m.in. oddziaływań różnych czynników losowych na zabieg odnowy. Wówczas o jakości odnowy  PK może świadczyć na przykład średnie odchylenie kwadratowe  s_od wielkości określającej stan techniczny po odnowie e_Od od wartości oczekiwanej tej wielkości w chwili  t = 0  (na początku eksploatacji), czyli od Ee_O  Odchylenie s_od jest określone za pomocą wzoru

s_od (I_od) =  .                                                                 (21)

gdzie  I_od  jest symbolem klasy jakości odnowy. Czym wyższa jakość przeprowadzania odnowy, tym mniejsze są wartości  s_od. Łatwo uzasadnić, że

s_od (I_od) =  .                                            (22)

Jak widać, miara jakości odnowy  s_od uwzględnia zarówno przesunięcie całego rozkładu (różnica systematyczna), jak i .różnice rozproszeń losowych wielkości określającej stan tech­niczny po odnowie e_Od i w chwili  t = 0, czyli e_O w  szcze­gólnym przypadku, gdy stan techniczny PK na początku eksploa­tacji i po panowie jest opisywany przez wielkości zdetermino­wane, odchylenie  s_od jest równe

s_od (I_od) = e_Od(I_od) – e_O                                                                                    (23)

Do odwzorowania stanu technicznego PK po odnowie informa­cja o  s_od (I_od)   jest jednak zbyt skąpa. Konieczna jest do te­go dodatkowo znajomość na przykład postaci matematycznej roz­kładu zmiennej losowej  e_Od oraz  Ee_Od, które na podstawie umowy można w wielu przypadkach przyjąć jako niezależne od ja­kości odnowy.

Przedstawione powyżej zasady tworzenia modelu procesu eks­ploatacji mogą być wykorzystane do modelowania dowolnego obiektu mechanicznego.

c) Model oddziaływań zewnętrznych na obiekt jest to zbiór informacji lub relacji matematycznych określających zbiór od­działywań roboczych i oddziaływań otoczenia (rozdz. 3). Naj­bardziej istotnymi oddziaływaniami zewnętrznymi są zazwyczaj obciążenia zewnętrzne. W przypadku, gdy rozpatrywanym obiektem jest maszyna, na obciążenia ta składają się z jednej strony obciążenia czynne (od silników), np. moment obrotowy na wałku silnika, a z drugiej strony – obciążenia bierne, wynikające przede wszystkim z charakteru pracy użytecznej wykonywanej przez tę maszynę w ramach danego stanu eksploatacji (p. punkt b). W przypadkach innych obiektów ich zewnętrzne obciążenia wynikają ze współpracy z sąsiednimi zespołami lub elementami maszyny.

Dla chwil odpowiednio odległych od początku trwania danego stanu eksploatacji obciążenia zewnętrzne są zwykle stałe lub stacjonarne. Prócz tego w ramach tego stanu występują obciąże­nia niestacjonarne, związane ze zmianą warunków pracy maszyny. Chodzi tu głównie o obciążenia dynamiczne pojawiające się przy zmianie stanów użytkowania. Zależą one od rodzajów stanów po­przedniego i rozpatrywanego. Obciążenia zewnętrzne obiektu po­jawiające się w stanie użytkowania  k  pod warunkiem, że sta­nem poprzednim był stan  j,  oznaczmy więc symbolem  O_k/j(t), gdzie  t może być tu traktowane jako czas użytkowania, liczo­ny na przykład dla każdego stanu  k  oddzielnie. Na ogół można przyjąć, że dla stanu innego niż stan użytkowania obciążenia zewnętrzne są równe zeru.

Jeśli wszystkich stanów użytkowania jest  w,  to zbiór ob­ciążeń O_k/j(t)  można przedstawić w sposób poglądowy za pomo­cą macierzy

º O(t)                                                     (24)

Ponieważ nie wszystkie przejścia ze stanu do stanu są moż­liwe, niektóre z wyrazów tej macierzy można traktować na pod­stawie umowy za równe zeru. Macierz (24) związana jest ściśle z macierzą (13) określającą prawdopodobieństwa zmiany stanów.

W pewnych przypadkach prócz oddziaływań w postaci obciążeń mogą być istotne i inne oddziaływania zewnętrzne, z powodu du­żego ich wpływu na oddziaływania wewnętrzne i stan wytężeń w poszczególnych PK. Tymi innymi oddziaływaniami mogą być od­działywania określane na przykład za pomocą takich wielkości jak: temperatura otoczenia, wilgotność powietrza, zapylenie (czasami zapiaszczenie) powietrza itd. Ich opis zawarty jest w modelu eksploatacji obiektu (punkt b).

W ogólnym przypadku oddziaływania zewnętrzne dla zbioru rozpatrywanych obiektów, a więc także wyrazy macierzy O(t), można traktować jako procesy stochastyczne. W praktyce matema­tyczny model oddziaływań zewnętrznych może być przedstawiony w różny sposób, na przykład w postaci zbioru losowych lub zde­terminowanych funkcji czasu, zbioru histogramów oddziaływań (m.in. obciążeń) itd. W niektórych przypadkach jego zasadnicza część, dotycząca obciążeń, może być rezultatem pewnych rozwa­żań teoretycznych, wykorzystujących prawa statyki i dynamiki. Zwykle konieczne jest wówczas zbudowanie modelu dynamicznego (p. punkt d) rozpatrywanego obiektu lub maszyny, której jest on częścią.

d) Model oddziaływań wewnętrznych obiektu jest to zbiór relacji matematycznych pozwalających na wyznaczenie tych od­działywań pod wpływem oddziaływań zewnętrznych. W przypadku obiektów mechanicznych jest to głównie zbiór relacji, który pozwala na wyznaczenie obciążeń elementów (i PK) obiektu pod wpływem obciążeń zewnętrznych w warunkach innych oddziaływań zewnętrznych (np. temperatury), czyli na wyznaczenie wyrazów O_k/j,i(t) macierzy O_i(t) obciążeń elementu z i-tym PK, gdzie  j, k = 1, 2,…, w,  a  i = 1, 2,…, m,  spowodowanych ob­ciążeniami zewnętrznymi opisanymi przez wyrazy O_k/j,i(t)   macie­rzy  O(t)  (24).  Zasadniczą częścią modelu oddziaływań we­wnętrznych jest więc model dynamiczny badanego obiektu. Pozo­stałe relacje wchodzące w skład modelu oddziaływań wewnętrz­nych to na przykład wyrażenia pozwalające określić obciążenia O_i(t)  na podstawie rozwiązań modelu dynamicznego. Gdy rozpa­trywany obiekt jest częścią maszyny, to model dynamiczny tej maszyny może być wykorzystywany również do określenia obciążeń zewnętrznych tego obiektu (p. punkt o). Tworzenie modelu ob­ciążeń wewnętrznych polega więc w ogólnym przypadku na tworze­niu przede wszystkim odpowiedniego modelu dynamicznego, które­go zasadniczą część stanowi zbiór równań na przykład o nastę­pującej postaci

(25)

wynikającej z przyjmowanych zwykle założeń upraszczających. Równania takie tworzy się dla tych stanów użytkowania  j  oraz k,  dla których wyrazy macierzy (13) zmiany stanów są niezerowe. Symbolami  M_k/j , C_k/j  i  K_k/j  oznaczone są w wyrażeniu (25) odpowiednio macierze bezwładności, tłumienia i sztywno­ści, a symbole x_k/j , i O_k/j (t)  użyte są do oznaczenia ko­lumnowych macierzy uogólnionych przemieszczeń i obciążeń ze­wnętrznych. Podczas tworzenia takiej postaci modelu dynamicz­nego określa się również wspomniane macierze oraz warunki po­czątkowe.

Własności elementów i ich połączeń w obiektach mechanicz­nych (opisywane przez parametry M_k/j , C_k/j , K_k/j ) mają często duże rozrzuty losowe. Wówczas parametry modelu można trak­tować jako zmienne losowe, a ze względu, na zjawiska zużycia i zmienność oddziaływań zewnętrznych (głównie otoczenia) – nawet jako procesy losowe. Również i obciążenia zewnętrzne mogą być w ogólnym przypadku traktowane jako procesy losowe. Jednakże modele takie, modele stochastyczne, nawet w przypadku nie­skomplikowanych maszyn, są na tyle złożone, że często nie na­dają się do analitycznego rozwiązania. Zwykle korzysta się wtedy z dalszych uproszczeń i buduje model o charakterze de­terministycznym, pozostając przy stochastycznym wymuszeniu, choć i takie modele nie są łatwe do analizy.

W przypadku konkretnego obiektu matematyczna postać modelu dynamicznego zależy od przyjętego w niezawodnościowym modelu nominalnym, a także matematycznym, opisu procesu eksploatacji lub opisu rodzajów i poziomów zewnętrznych obciążeń mechanicz­nych, od struktury funkcjonalnej obiektu itd. W dużym stopniu postać modelu dynamicznego zależy również od celu, jakiemu ma on służyć. W przypadku badań niezawodności ważne jest wyzna­czenie, na przykład na podstawie przebiegów obciążeń elemen­tów  O_i(t)  uzyskanych w wyniku analizy modelu dynamicznego, nie tylko ekstremalnych obciążeń elementów, lecz także innych charakterystyk przebiegu obciążeń dynamicznych istotnych z punktu widzenia niezawodności, np. szybkości tłumienia drgań, rozkładu szczytowych obciążeń itd.

Wyznaczanie obciążeń wewnętrznych jest znacznie łatwiej­sze, jeśli w modelu obciążeń zewnętrznych obiektu przyjęto, że obciążenia te są quasi-statyczne. Wówczas często dobrym mode­lem obciążeń elementów jest zbiór funkcyjnych związków linio­wych między obciążeniami uogólnionymi elementów O_{k/j, i}(t) º O_{k, i}(t) a obciążeniami uogólnionymi zewnętrznymi O_k/j(t) º O_k(t)  typu

O_{k, i}(t) = b_{k, i} O_k(t)                                                                                            (26)

gdzie  b_{k, i}  jest stałym współczynnikiem.

Jak już napisano, modelem oddziaływań wewnętrznych są głów­nie relacje matematyczne służące do wyznaczenia obciążeń ele­mentów pod wpływem obciążeń zewnętrznych. W pewnych jednak przypadkach do modelu tego mogą wchodzić relacje pozwalające na wyznaczenie obciążeń elementów powstających pod wpływem in­nych oddziaływań zewnętrznych niż obciążenia (np. zmian tempe­ratury) lub relacje pozwalające wyznaczyć Inne oddziaływania wewnętrzne niż obciążenia (np. termodynamiczne oraz odkształ­cenia lub wzajemne przemieszczenia elementów).

e) Model uogólnionych wytężeń w PK jest to zbiór relacji matematycznych służący do wyznaczenia uogólnionych wytężeń w PK, powstałych pod wpływem oddziaływań, którym poddany jest element obiegu. W przypadku obiektów mechanicznych istotne są zwykle wytężenia mechaniczne, np. naprężenia lub naciski. Są jednak i takie obiekty mechaniczne, dla których istotne są również wytężenia innego rodzaju, np. termodynamiczne. Wspom­niany zbiór relacji służy więc przede wszystkim do wyznaczenia wytężeń (mechanicznych i innych) b_{k/j, i}(t) wywołanych w i-tym PK przez zewnętrzne oddziaływania, głównie obciążenia O_{k/j, i}(t). Element z tym PK, określono w modelu oddziały­wań wewnętrznych (p. punkt d), dla wszystkich wyszczególnio­nych w tym modelu wartości i, j  oraz

Jak wiadomo, nawet przy zdeterminowanym charakterze od­działywań na element, wytężenia w PK tego elementu mogą mieć duże rozproszenia losowe. Na przykład w miejscach spiętrzenia naprężeń bardzo duży wpływ na ich maksymalne wartości mają wy­miary tych fragmentów elementu, które wywołują spiętrzenia (np. promienie zaokrągleń odsadzeń na wałkach, promienie za­okrągleń przy dnach rowków wpustowych, wymiary spoin, itd.). Ze względu na to, że wymiary te mają często stosunkowo duże rozproszenia losowe, gradienty naprężeń i maksymalne napręże­nia w miejscach spiętrzeń też mogą mieć duże rozproszenia lo­sowe.

Jeśli ten fakt uwzględniono już w modelu początkowego sta­nu technicznego obiektu, to model wytężeń mechanicznych może być modelem deterministycznym. W tym przypadku służy on do wy­znaczenia nominalnych wytężeń (bez uwzględnienia karbów) w PK, i wpływ wymiarów, kształtu itd. na spiętrzenie naprężeń uwzględnia się w modelu początkowego stanu technicznego, a objawia się on zmniejszeniem niszczących naprężeń nominalnych. Jeśli tego nie uwzględniono w modelu początkowego stanu tech­nicznego, powinno to być uwzględnione w modelu wytężeń mechanicznych i wówczas ten model ma charakter stochastyczny (pro­babilistyczny), a wytężenia b_{k/j, i}(t) są procesami lub zmiennymi losowymi.

Przy budowie modeli uogólnionych wytężeń korzysta się z różnych teoretycznych metod analitycznych, z teoretycznych metod numerycznych (np. MES), z metod eksperymentalnych (ela-stooptyka, tensometria i inne).

Postać modelu uogólnionych wytężeń w każdym PK jest cha­rakterystyczna dla tego PK i elementu, w którym on występuje orał dla rodzaju i charakteru oddziaływań, którym poddany jest ten element. Zależy również od postaci matematycznego opisu cech zdatności (p. punkt f). Na przykład do opisu nie­których cech zdatności nie jest potrzebna znajomość przebiegu wytężeń b_{k/j, i}(t)   w czasie eksploatacji, a jedynie pewne wielkości charakterystyczne dla tego przebiegu, takie jak: na­prężenia maksymalne, naprężenia maksymalne i średnie (lub od­powiednie rozkłady prawdopodobieństw tych wielkości ) itd.

Określone z pomocą omawianego modelu uogólnione wytężenia w PK mogą być podstawą do oceny stopnia pogorszenia istotnych własności elementów w tych PK w rozpatrywanym okresie eksploa­tacji i do oceny bieżących wartości cech zdatności (np. zapa­su wytrzymałości, przez porównanie wyznaczonych naprężeń ł na­prężeniami krytycznymi). Do ocen takich konieczne jest jednak istnienie modeli przedstawionych w dalszej części tekstu.

f) Model zmian stanu technicznego obiektu stanowi matema­tyczny opis tych zmian, głównie procesów degradacji stanu technicznego obiektu pod wpływem oddziaływań wewnętrznych (zwłaszcza obciążeń), a bezpośrednio – wskutek między innymi działania uogólnionych wytężeń (np. zmiennych naprężeń). W przypadku obiektu mechanicznego są to zwykle procesy zmęcze­nia objętościowego i powierzchniowego, zużycia ciernego, peł­zania itd. W zależności od celu badań używane modele tych pro­cesów są deterministyczne lub stochastyczne. Z punktu widzenia niezawodności szczególnie interesujące są modele stochastycz­ne. Najwygodniej jest odwzorować zmiany stanu technicznego nie za pomocą wiel­kości charakteryzujących ten stan (p. punkt a), lecz za pomocą wielkości przyjętych wcześniej cech zdatności.

Przedstawmy dla przykładu ogólną postać jednego z modeli zmiany stanu technicznego PK obiektu, spowodowanej zjawiskiem zmęczenia materiału. Za miarę zmian stanu technicznego można w tym przypadku przyjąć na przykład wielkość względnego uszko­dzenia zmęczeniowego  D.  Wielkość ta może też spełniać rolę cechy zdatności. W ogólnym przypadku, gdy naprężenie s(t) w PK jest traktowane jako proces stochastyczny, wielkość  D (a właściwie jej wartość oczekiwana) jest określona zależno­ścią

,                                                                           (27)

gdzie:

f(s_s)  jest gęstością prawdopodobieństwa szczytowych war­tości naprężenia s(t),

t – czasem użytkowania,

n_O – efektywną liczbą oscylacji naprężenia w jednostce czasu,

N(s) – trwałością zmęczeniową dla poziomu naprężeń  s wyznaczoną na podstawie odpowiedniego równania krzywej zmęcze­niowej,

W_d – dolnym ograniczeniem wytrzymałości zmęczeniowej  W.

Jeśli naprężenie  s(t)  jest stacjonarnym procesem normal­nym o wąskim widmie i zerowej wartości oczekiwanej.

dla s_s > 0                                                        (28)

(29)

gdzie  D²s i  D² s są wariancjami procesów naprężenia i jego pochodnej względem czasu.

Równanie krzywej zmęczeniowej przyjmijmy w postaci

(30)

gdzie:

h  jest wykładnikiem potęgi decydującym o pochyleniu krzy­wej zmęczeniowej,

W_O  jest charakterystyczną wytrzymałością zmęczeniową,  a

N_O  jest trwałością zmęczeniową PK  odpowiadającą pozio­mowi naprężeń  s_s = W_O.

Dla stali konstrukcyjnych W_O  jest na ogół trwałą wytrzy­małością zmęczeniową.

Podstawiając zależności (28) – (30) do związku (27), otrzymuje się wyrażenie

(31)

gdzie:

G(x)  jest funkcją gamma,  a G(x₁, x₂)  jest niepełną funkcją gamma.

Miara uszkodzenia zmęczeniowego  D(t)  (31) jest więc li­niową funkcją czasu.

Wytrzymałość zmęczeniowa W_O  jest traktowana w wyrażeniu (31) jako wielkość zdeterminowana. Ponieważ jednak ta własność materiału (i konstrukcji) ma duże rozrzuty losowe, w wielu przypadkach przyjmuje się, że W_O jest zmienną losową. Opisu­je się ją za pomocą rozkładu Weibulla lub logarytmo-normalnego, a zazwyczaj za pomocą rozkładu normalnego (p. punkt a). Wówczas opia funkcji losowej D(t),  a nawet wyznaczenie nie­których jej parametrów, jest już zadaniem znacznie trudniej­szym.

Należy zaznaczyć, że w piśmiennictwie można znaleźć rów­nież i inne modele zmian stanu technicznego PK wskutek zmęcze­nia. Jest to zresztą charakterystyczne dla modelowania w ogóle. Na przykład przedstawiony powyżej proces pogarszania się włas­ności wytrzymałościowych można też opisać za pomocą modelu Serensena opartego na hipotezie stopniowego obniżania się trwałej wytrzymałości zmęczeniowej wskutek działania tzw. cyk­li przeciążeniowych, za pomocą modeli opartych na teorii łańcuchów Markowa, za pomocą modeli proponowa­nych przez mechanikę pękania.

Modelem zmian stanu technicznego obiektu jest zbiór rela­cji matematycznych, takich jak na przykład relacja (31), opi­sujących pogarszanie się stanu technicznego we wszystkich PK tego obiektu.

g) Model granicy obszaru zdatności obiektu jest to matema­tyczny opis granic cech zdatności poszczególnych PK oraz mate­matyczny opis struktury niezawodnościowej tego obiektu, przy­jętej przy tworzeniu nominalnego modelu niezawodnościowego (p. krok czwarty w podrozdz.2).

Ustalenie granicznej wartości cechy zdatności PK  odbywa się na podstawie sformułowanej w modelu nominalnym definicji niesprawności togo PK i jest łatwe w przypadku, gdy przekro­czenie tej wartości przez cechę (na skutek zmian stanu tech­nicznego obiektu) uniemożliwia teoretycznie dalsze funkcjono­wanie PK w obiekcie, czyli jest równoznaczne z jego niesprawnością fizyczną. Chodzi tu o zdarzenia, które z założenia po­winny prowadzić do takich postaci naruszenia geometrii, jak:

pęknięcia, trwałe odkształcenia wskutek utraty stateczności itd. W tych przypadkach istnieje wyraźna granica między sta­nem zdatności i stanem niezdatności PK.  Jest nią na przy­kład krytyczna wartość zapasu uogólnionej wytrzymałości  (ze względu na utratę stateczności, ze względu na doraźne pęknię­cie itd.)  Z_gr   = O  lub krytyczna wartość względnego uszkodze­nia zmęczeniowego  D_gr   = 1  (lub

D_gr   = a  według modelu Serensena).

W innych przypadkach, gdy zmiana makro- lub mikrogeometrii zachodzi w sposób stopniowy, to ustalenie tej granicy nie jest łatwe. Na ogół są do tego wykorzystywane odpowiednie informa­cje uzyskane z eksploatacji już istniejących obiektów podob­nych. Na przykład w przypadku wysięgnika żurawia samojezdnego taką informacją jest dopuszczalna maksymalna wartość luzu  między ślizgiem a współpracującym z nim członem wysięgnika, wynikająca z praktyki eksploatacji takich żurawi i narzucona w instrukcji obsługi.

Graniczna wartość cechy zdatności  PK,  zmieniającej się stopniowo, może być też określona na podstawie analizy wpływu zmian tej cechy na efektywność eksploatowania (lub dobroć) obiektu. Stopniowa zmiana cechy zdatności w czasie eksploata­cji obiektu powoduje między innymi wzrost ryzyka powstania uszkodzenia, wywołującego duże straty; pogorszenie poprawności funkcjonowania obiektu (np. spadek wydajności) itd. Są to nie­które z czynników określających efektywność eksploatowania obiektu. Po pewnym czasie eksploatacji obiektu cecha zdatności osiąga wartość, przy której efektywność ta zaczyna gwałtownie spadać albo obniża się do niedopuszczalnego poziomu. Taka war­tość cechy zdatności może być traktowana jako jej wartość gra­niczna. Do przeprowadzenia jej wyboru konieczne jest przyjęcie miary efektywności i dokonanie matematycznego opisu zależności tej miary od rozpatrywanej cechy zdatności. W niniejszej pracy zagadnieniem tym nie zajmowano się.

Chwila, w której co najmniej jedna z cech zdatności Z_n(t) i-tego PK osiąga wartość graniczną  Z_ngr  jest traktowana ja­ko chwila powstania niesprawności tego PK (p. rozdz. 3), a czas  T_i ,  jaki do tej chwili upłynął od początku eksploatacji (lub od ostatniej odnowy poawaryjnej), jest czasem bezawaryj­nej pracy i-tego PK.

Druga część modelu granicy obszaru zdatności obiektu – to matematyczny opis struktury niezawodnościowej obiektu, przy­jętej w modelu nominalnym. Przy tworzeniu tego opisu należy podjąć decyzję o przyjęciu lub nieprzyjęciu założenia upra­szczającego polegającego na pominięciu zależności stocha­stycznych między zmiennymi losowymi   T_i (i  = 1, 2,….m) (spowodowanych zależnościami stochastycznymi między cechami zdatności tych PK). W przypadku obiektów mechanicznych, zwła­szcza przenoszących napęd, te zależności mogą być silne mię­dzy innymi z powodu istnienia silnych zależności między ob­ciążeniami poszczególnych PK. Aby podjąć wspomnianą decyzję, należy ocenić, jak silne są te zależności stochastyczne. W pewnych przypadkach oceny tej można również dokonać na podstawie analizy tych zależności między cechami zdatności obiektu. Duży wpływ na siłę tych zależności ma cha­rakter zjawisk fizycznych uwzględnionych przez model nominalny (p. rozdz. 5).

Najczęściej przyjmowaną strukturą niezawodnościową dla obiektów mechanicznych, zwłaszcza przenoszących napęd, jest. struktura szeregowa (p. krok czwarty w p. rozdz. 4.2). Matema­tyczny opis takiej struktury można ująć następującym związkiem między czasem  T bezawaryjnej pracy obiektu i czasami T- bez­awaryjnej pracy jego PK

T = min (T₁, T₂,…, T_m)                                                                                  (32)

oraz zbiorem E  związków, które można przedstawić w następują­cej ogólnej postaci

y_e (T₁, T₂,…, T_m) = 0     e Î E                                                                        (33)

uwzględniających stochastyczne zależności między zmiennymi losowymi T.

Załóżmy, że T  i , T_i,   (i = 1, 2,…, m)  są zmiennymi loso­wymi ciągłymi określonymi dla  T ³ 0  i T_i ³ 0  o skończo­nych co najmniej pierwszych dwóch momentach. W szczególnym przypadku, gdy korelacja między zmiennymi losowymi T   jest liniowa (lub w przybliżeniu liniowa), dobrymi miarami tych za­leżności stochastycznych są współczynniki korelacji r_mh  mię­dzy zmiennymi T_h  i T_m .  Wówczas związki (33)  można przed­stawić na przykład w postaci

r_mh   =  b_mh     m, h = 1, 2,…, m,                                                                     (34)

gdzie  b_mh  jest wartością współczynnika r_mh .  Wartości te można w wielu przypadkach wyznaczyć analitycznie. W tym celu, na podstawie zbudowanych niezawodnościowych modeli odpowied­nich PK, trzeba uprzednio wyznaczyć zależności wielkości T_m i T_h od różnych czynników konstrukcyjnych, technologicznych i eksploatacyjnych. Z relacji (3) – (5) wynika, że zmienne T_m i T_h  są funkcjonałami, które ogólnie można przedstawić w po­staci

T_m  = f_m [e_O, G_a(t)] ,   gdzie  0 £ t £ T_m                                                          (35)

T_h = f_h [e_O, G_a(t)] ,    gdzie  0 £ t £ T_h                                                         (36)

Przyporządkowują one realizacjom  e_O  początkowego stanu technicznego i realizacjom G_a(t)   oddziaływań zewnętrznych, występujących aż do chwili pojawienia się niesprawności, rea­lizacje T_m i T_h   czasów bezawaryjnej pracy PK o numerach m i h.  Postacie tych funkcjonałów wynikają z postaci nie­zawodnościowych modeli tych PK. Ponieważ zawierają one zbiory wspólnych zmiennych losowych i zbiory wspólnych procesów losowych, więc zmienne T_m i T_h są zależne stochastycznie. Zwykle wielkości T_m i T_h   udaje się przedstawić jako funkcje tylko zmiennych losowych (zwłaszcza, gdy oddziaływania zewnętrzne potraktuje się jako procesy sta­cjonarne). Wówczas relacje (35) i (36) można zastąpić relacja­mi

T_m = f_m ( Y_1, Y₂,…,Y_y; L₁, L₂,…, L_l )  ,                                                          (37)

T_h = f_h ( Y_1, Y₂,…,Y_y; V₁, V₂,…, V_v )  ,                                                          (38)

gdzieL₁, L₂,…, L_l   oraz V₁, V₂,…, V_v są zbiorami różnych zmiennych losowych lub zdeterminowanych opisujących początko­wy stan techniczny e_O i oddziaływania zewnętrzne G_a ,  a Y_1, Y₂,…,Y_y jest zbiorem wspólnych zmiennych losowych opisu­jących e_O i G_a.  Wykorzystując relacje (37) i (38). można wyznaczyć współczynnik korelacji  r_mh na podstawie znanego wyrażenia

(39)

Zasadnicze uproszczenie, pozwalające wyznaczyć przybliżo­ną wartość  r_mh ,  polega zwykle na rozwinięciu funkcji f_m  i f_h  oraz ich iloczynu f_m f_h  w szeregi Taylora w otoczeniu punktów określonych przez zbiory współrzędnych odpowiednio ZW_m( EY₁, EY₂,…, EY_y; EL₁ ,EL₂,…, EL_l ),

ZW_h( EY₁, EY₂,…, EY_y; EV₁ ,EV₂,…, EV_V ) oraz ZW_mh( EY₁, EY₂,…, EY_y; EL₁ ,EL₂,…, EL_l ;

EV₁ ,EV₂,…, EV_V )  i zachowaniu w tych szeregach pierwszych kilku wyrazów. Uproszczenie to ułatwia wyznaczenie momentów zmiennych losowych, występujących w formule (39). Mimo tego uproszczenia wyprowadzenie wzoru na współczynnik r_mh , jest na ogół niełatwe. Jeżeli wspomniane szeregi są wolnozbieżne, to w celu zwiększenia dokładności wyznaczenia r_mh  należy przy obliczaniu momentów zmiennych T_m , T_h  i T_m T_h  uwzględnić większą liczbę wyrazów rozwinięć. To jednak znacznie utrudnia obliczenia.

W trudniejszych przypadkach do wyznaczania współczynników korelacji może być użyta metoda symulacji. W tym przypadku po­lega ona na losowaniu realizacji zmiennych losowych Y₁, Y₂,…, Y_y; L₁ ,L₂,…, L_l ; V₁ ,V₂,…, V_V  oraz wyznaczeniu na podstawie relacji (37) i (38) realizacji zmiennych T_m i T_h    Odpowiednio liczny zbiór par realizacji (T_m , T_h)  umożliwia wy­znaczenie estymatorów momentów występujących w związku (39) oraz obliczenie wartości odpowiedniego współczynnika korela­cji. Metoda symulacji może ułatwić wyznaczanie tych współczyn­ników korelacji również i w tych przypadkach, gdy poszczegól­nym PK przyporządkowane są większe liczby cech zdatności niż 1.

Jeżeli zależności stochastyczne z założenia nie występu­ją, do opisu szeregowej struktury niezawodnościowej obiektu złożonego wystarcza relacja (32) (lub odpowiednio inne dla innych struktur).

Nie jest również potrzebne wyrażanie wspomnianych zależności stochastycznych na przykład za pomocą relacji (33), gdy do badań niezawodności, wykorzystujących niezawodnościowy mo­del obiektu, użyta jest metoda symulacji stanów obiektu i otoczenia oraz zjawisk fizycznych prowadzących do niesprawno­ści (p. podrozdz. 5.3 [tej pracy inżynierskiej]). Wówczas bowiem zależności te’ są uwzględniane pośrednio przez losowanie między innymi wartości zmiennych losowych, wspólnych dla różnych PK, zmiennych cha­rakteryzujących początkowy stan techniczny  e_O i oddziaływa­nia zewnętrzne G_a  na pojedynczy egzemplarz obiektu. Decydu­ją one o stochastycznych zależnościach między cechami zdatności, np. między Z_m(t)  i Z_h(t),  co wynika z relacji (3) i (4)  lub między czasami bezawaryjnej pracy poszczególnych PK, np. między T_m  i T_h,  co wynika z relacji (35) i (36). Taki­mi zmiennymi losowymi, wspólnymi dla PK o numerach m i h są wielkości Y₁,Y₂,…,Y_y  występujące w relacjach (37) i (38).

Matematyczne opisy innych struktur niezawodnościowych niż szeregowa (jeśli były przyjęte w modelu nominalnym) mogą być dokonane w sposób podobny do przedstawionego powyżej.

Przedstawiony w niniejszym rozdziale w punktach a – g zbiór modeli częściowych tworzy niezawodnościowy model obiektu me­chanicznego, nadający się do teoretycznych badań niezawodności tego obiektu. W rozdziale tym zostały zaprezentowane zasady i kolejność postępowania przy tworzeniu pełnej postaci niezawod­nościowego modelu obiektu mechanicznego. W praktyce mogą być stosowane również i inne postacie niezawodnościowego modelu takiego obiektu, będące jednakże szczególnymi przypadkami mo­delu przedstawionego. Różnice między nimi wynikają przede wszystkim z jakości i ilości posiadanych informacji o opisa­nych powyżej procesach i zjawiskach prowadzących do niespraw­ności.

Te inne postacie modelu mogą się różnić od przedstawionej postaci pełnej przede wszystkim brakiem niektórych części mo­delu. W pewnych przypadkach na przykład wśród danych wykorzy­stywanych przy tworzeniu modelu są dane charakteryzujące bez­pośrednio obciążenia zewnętrzne obiektu. Pozwalają one zwykle zbudować model oddziaływań zewnętrznych, a część modelu niezawodnościowego dotycząca procesu eksploatacji staje się zbędna. Posiadanie takich danych umożliwia więc pewne uproszczenie niezawodnościowego modelu obiektu.

Inna szczególna postać przedstawionego modelu powstaje wówczas, gdy badania dotyczą tylko pojedynczego PK. Wśród po­trzebnych danych są wtedy zwykle dane charakteryzujące bezpo­średnio uogólnione wytężenia (np. naprężenia lub naciski wy­stępujące w badanym PK. W niezawodnościowym modelu tego PK zbędne stają się te części pełnej postaci modelu, które doty­czą: procesu eksploatacji obiektu zawierającego ten PK, proce­su oddziaływań zewnętrznych na ten obiekt, procesu oddziaływań wewnętrznych. Zdecydowana większość krajowych i światowych pu­blikacji z zakresu niezawodnościowego modelowania obiektów me­chanicznych dotyczy takich właśnie szczególnych postaci mode­li, tzn. modeli PK.